Risico in het financieel plan, deel 2
In de reeks ‘Risico en rendement in het financieel plan’ gaan we in op de rol die statistiek speelt in het adviesproces. In deel één is gestart met de bespreking van het deterministische en stochastisch model, waarbij de focus lag op de normaalverdeling. In dit deel zullen we de draad oppakken en verder gaan met de lognormale verdeling.
Het gebeurt vaak dat men uit gemak aanneemt dat data normaal verdeeld is, terwijl dit zeker niet altijd het geval is. Ongegronde aannames leiden tot onbetrouwbare resultaten. Het kiezen van een kansverdeling voor een dataset is dus een essentiële stap in het bouwen van een stochastisch model. De output van het model moet immers overeenkomen met de werkelijkheid. Daarom is het van belang
 |
| Figuur 1 De normaal en lognormale verdeling |
dat de gekozen kansverdeling goed op de data past, want iedere verdeling heeft weer andere kenmerken. De lognormale verdeling heeft meerdere onderscheidende kenmerken ten opzichte van de normale verdeling. We bespreken er twee. Het eerste is de lange rechterstaart die typerend is voor de lognormale verdeling (zie figuur 1). Deze maakt het mogelijk om extreme waarden te fitten omdat het domein groter is.
Het tweede kenmerk is dat bij de lognormale verdeling de variabele geen negatieve waarden aan kan nemen. Een voorbeeld hiervan is de prijs van een aandeel. Die wordt niet negatief. Bij de normale verdeling kan wel rekening worden gehouden met negatieve waarden. Een voorbeeld hiervan is het rendement van een aandeel. Dat kan wel negatief zijn. Dan past dus de normale verdeling goed op de data.
Stel dat we beschikken over een dataset met maandelijkse prijzen van een aandeel X over een periode van 15 jaar. In figuur 2 is de data geplot in een histogram die de frequentie van de waarden van de
 |
| Figuur 2 Histogram van de prijs van aandeel X |
aandelenprijs weergeeft. We zien in één oogopslag dat de bekende belvorm van de normale verdeling niet goed te herkennen is. De verdeling is, anders dan bij de normale verdeling, niet symmetrisch (1). Omdat er geen sprake is van symmetrie in figuur 2, past de normale verdeling hier niet goed bij. Door de langere rechterstaart - die doorloopt tot in de 30 – kunnen we concluderen dat de lognormale verdeling een betere fit voor de data is.
Zoals gezegd leiden ongegronde aannames tot onbetrouwbare resultaten. Dus wat gebeurt er als ten aanzien van het hierboven besproken aandeel X toch voor een normale verdeling wordt gekozen? In het model zullen random getallen uit de normale verdeling gekozen worden. Als je naar figuur 2 kijkt, dan zie je dat de piek van de curve ongeveer benaderd wordt door een aandelenprijs ter waarde van 8 euro. Als je de curve aan de rechterzijde van µ (bij de normale verdeling hoort bij de piek de gemiddelde waarde, in casu 8 euro) zou spiegelen naar de vorm van de linkerzijde, dan zou de rechterstaart verkort worden en ongeveer doorlopen tot 16 euro. Die spiegeling volgt immers uit de symmetrie van de normale verdeling. De hogere waarden uit de rechterstaart zullen dan met een kleinere waarschijnlijkheid of helemaal niet in het model worden meegenomen. En dat leidt tot een onjuiste weerspiegeling van de werkelijkheid.
De volgende stap in het bouwen van het stochastisch model is het toepassen van de Monte Carlo analyse. Dat zal in het volgende artikel besproken worden.
1. Hiermee wordt bedoeld: met een gemiddelde aandelenprijs µ = 3 en standaarddeviatie σ = 1, is de kans dat de aandelenprijs gelijk is aan 4 (µ + σ) even groot is als de kans dat de aandelen prijs gelijk is aan 2 (µ - σ).